Claudio Paul Caniggia se narodil 9. dubna 1967 v argentinském městě Henderson. Od malička miloval fotbal. Jeho otec, Jorge Caniggia, byl také fotbalista, takže se dá říci, že fotbal měl Claudio v krvi. Už jako malý kluk vynikal svou rychlostí a skvělým driblinkem. Míč mu na noze téměř přirostl. V dětství hrál za místní klub River Plate, který je jedním z největších a nejslavnějších klubů v Argentině. Tam se začal jeho talent naplno rozvíjet.
Caniggia byl známý především svou neuvěřitelnou rychlostí. Dokázal uběhnout dlouhé vzdálenosti s míčem u nohy rychleji než většina ostatních hráčů. Jeho styl hry byl velmi atraktivní. Často se proplétal mezi obránci jako nůž máslem. Měl také skvělou techniku, uměl dát krásné góly a nahrát přesné přihrávky. Pro fanoušky byl opravdovým El Pájaro – Ptáček. Toto přezdívka mu zůstala po celou jeho kariéru, protože se pohyboval po hřišti s lehkostí a elegancí.
Jeho profesionální kariéra začala v River Plate v roce 1985. Tam rychle zazářil a stal se klíčovým hráčem. Jeho výkony si všimli i trenéři argentinské reprezentace. Debut v národním týmu si odbyl v roce 1987. Byl to pro něj obrovský úspěch. V dresu Argentiny se mu dařilo a stal se důležitým členem týmu, který se připravoval na Mistrovství světa.
Největší slávu si Claudio Caniggia získal na Mistrovství světa v Itálii v roce 1990. Argentina tehdy nebyla v nejlepší formě, ale díky skvělým výkonům Caniggi se jí podařilo postoupit daleko. Claudio byl tehdy v životní formě. Jeho rychlost a góly byly pro soupeře noční můrou. V památném osmifinále proti Brazílii, kdy Argentina vyhrála 1:0, vstřelil jediný gól zápasu po úžasné individuální akci. Proběhl přes půl hřiště a chladnokrevně zakončil. Tento gól se stal legendárním. Argentina nakonec došla až do finále, kde prohrála s Německem. Caniggia byl ale hvězdou celého turnaje.
Po úspěchu na MS 1990 se Caniggia přesunul do Evropy. Podepsal smlouvu s italským klubem AS Řím. V Itálii se mu dařilo a stal se oblíbencem fanoušků. Jeho styl hry se do italské ligy skvěle hodil. Po Římě hrál i za Atalantu Bergamo. V Itálii strávil několik úspěšných sezón, kde ukázal, že je světovou třídou. Jeho rychlost a technika mu umožnily konkurovat nejlepším hráčům na světě.
V roce 1992 se Caniggia vrátil do Argentiny, aby hrál za Boca Juniors, největšího rivala River Plate. Toto přestup bylo pro fanoušky obrovským šokem. Boca Juniors je klub s vášnivými fanoušky a Caniggia se tam stal okamžitě miláčkem tribun. Jeho výkony za Boca byly skvělé a fanoušci ho milovali. Byl to pro něj návrat domů, kde mohl hrát před svými nejvěrnějšími fanoušky.
Po angažmá v Boca Juniors se Caniggia vrátil do Evropy. Hrál krátce v Anglii za Dundee United a poté v Skotsku za Rangers. V těchto klubech už nebyl tak dominantní jako v dobách své největší slávy, ale stále dokazoval své kvality. Jeho pověst rychlého a technického hráče ho předcházela.
Jeho kariéra byla poznamenána také několika kontroverzemi. V roce 1993 byl pozitivně testován na kokain a dostal dvouletý trest zákazu činnosti. To byl pro něj velký zásah, ale podařilo se mu vrátit zpět na hřiště. Vždycky byl známý svým bohémským životním stylem, ale na hřišti vždy podával skvělé výkony.
Claudio Caniggia se objevil také na Mistrovství světa v USA v roce 1994, kde Argentina opět patřila k favoritům. Bohužel, jeho výkony nebyly tak oslnivé jako před čtyřmi lety. V průběhu turnaje byl také pozitivně testován na doping, což vedlo k jeho vyloučení z týmu. To byla pro něj velká rána a pro Argentinu ztráta.
Jeho poslední profesionální angažmá bylo v Kataru za klub Al-Arabi. Po ukončení kariéry se věnuje různým projektům, ale fotbalu zůstává věrný. Jeho jméno je navždy spojeno s argentinským fotbalem a s nezapomenutelnými momenty z Mistrovství světa 1990. Claudio Caniggia byl hráč, který fanoušky bavil svou rychlostí, technikou a odvahou. Byl to El Pájaro, který létal po hřišti a rozdával radost.